HTML

ePub

PDF

1 Introdução

Ao iniciar nossa pesquisa no doutorado em Educação Matemática, tínhamos em mente a investigação de algum tema que fosse importante nos processos de ensino e de aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral. Escolhemos a derivada devido à sua importância nas diversas áreas de conhecimento, como Matemática, Engenharia, Economia, Administração, Física, dentre outras.

Pesquisas revelam que, para os alunos, a derivada é um processo mecânico, algorítmico ou resultado de uma operação, como destacam Dall’Anese (2000) e Vllareal (1999). Para esses autores, assim como observamos em nossa prática docente, os alunos tentam decorar regras de derivação e a derivada, enquanto objeto ou conceito matemático, parece ter pouco significado. Em questões que envolvem este conceito, é comum os alunos recorrem a procedimentos padrão.

Diante destas dificuldades, fizemos a análise de um livro didático, no que diz respeito ao significado global da derivada. A obra selecionada, ilustrada na Figura 1, é Um curso de Cálculo, volume 1, 5ª edição, com reimpressão em 2008, de autoria de Hamilton Luiz Guidorizzi, tendo como referência o sentido holístico da derivada, analisando os textos, exercícios resolvidos e propostos e outras atividades apresentadas na referida obra.

A escolha desse livro se deu a partir da nossa experiência, ministrando aulas de Cálculo Diferencial e Integral para cursos de Engenharia e, também, devido a questionamentos do nosso aprendizado da derivada na época da graduação em Matemática. Ressaltamos que na nossa prática docente utilizamos o livro Um curso de Cálculo (GUIDORIZZI, 2008) nos cursos de Engenharia.

Esse livro também consta nas ementas e é usado como referência, nas bibliografias, principal ou complementar, em cursos de Cálculo Diferencial e Integral de diversas universidades do Brasil, geralmente esse livro é utilizado em cursos de Engenharia, Matemática e Física. Alguns A título de exemplo, citamos as seguintes instituições onde tal obra é adotada: Universidade de São Paulo (USP), Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (UESB) e Universidade Mackenzie.

A seguir apresentaremos as ideias essenciais do nosso referencial teórico-metodológico, qual seja, o sentido holístico da derivada.

2 Sentido holístico da derivada

A apropriação da noção de sentido holístico da derivada nos permite analisar quais são os significados parciais implementados ou pretendidos da derivada no livro didático do Ensino Superior que analisamos e apresentamos neste artigo.

Segundo Stigar (2008), a palavra holística foi criada a partir do termo holos, um termo grego que significa todo ou inteiro. Sendo assim é uma qualidade que classifica algo relacionado com o holismo, ou seja, que procura compreender os fenômenos na sua totalidade e globalidade.

Ainda segundo esse autor, o holismo considera que o sistema completo se comporta de um modo diferente da soma das suas partes, ressalvando a importância do todo como algo que ultrapassa a soma das partes, ressaltando ainda a importância da correlação destas parcelas. Na abordagem holística, o todo e cada uma das partes encontram-se ligados com interações constantes estabelecendo uma relação de interdependência e a convergência.

Em suma, a holística pertence e se refere ao holismo, que é uma ideia de analisar os fenômenos do ponto de vista das múltiplas interações que o caracterizam.

Assim sendo, a noção de configuração epistêmica(CE) de Pino-Fan et al. (2013) permitiu ao pesquisador Juan Godino e seus colaboradores a reconstruir o sentido holísticoda derivada, identificando seus significados parciais. Para refazer essas ideias, Pino-Fan et al. (2013) fizeram uma revisão bibliográfica a partir da Matemática grega até o século XX, realizando uma análise de objetos matemáticos primários envolvidos nas várias questões que foram abordadas e que aconteceram em momentos diferentes e culminaram com o surgimento da noção da derivada.

A partir desta revisão, esses autores elaboraram nove configurações epistêmicas associadas aos vários problemas:

1. ▪ Traçados de tangentes na Matemática grega (CE1);

   ▪ Problemas sobre Taxas de Variação na Idade Média (CE2);

   ▪ Cálculo de subtangentes e tangentes utilizando álgebra (CE3);

   ▪ Traçados de tangentes mediante considerações cinemáticas (CE4);

   ▪ Cálculo de Máximos e Mínimos mediante a ideia intuitiva de Limite (CE5);

   ▪ Cálculo de tangentes e subtangentes mediante métodos infinitesimais (CE6);

   ▪ Cálculo de Fluxões (CE7);

   ▪ Cálculo de Diferenças (CE8);

   ▪ Derivada como um Limite (CE9).

Estas configurações podem ser relacionadas, segundo Pino-Fan et al. (2013), como ilustração da Figura 2, que remete a um triângulo.

De acordo esta figura, percebemos o sentido holístico da derivada em que diferentes abordagens deste conceito levam à sua compreensão formal como um limite, nomeada pelos autores de configuração epistêmica (CE9), a qual ocupa o topo do triângulo. Para esses autores, esta configuração é ativada para resolver problemas de Tangentes, Máximos e Mínimos e Taxa de Variação-Velocidades.

No entendimento de Pino-Fan et al. (2013), as configurações epistêmicas Cálculo de Fluxões (CE7) e Cálculo de Diferenças (CE8) foram ativadas por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, respectivamente, para resolver situações-problema que envolvem Tangentes, Máximos e Mínimos e Taxa de Variação e Velocidades. Observamos que esta prática ocupa a “metade” do triângulo.

As configurações Cálculo de Fluxões (CE7) e Cálculo de Diferenças (CE8), segundo Pino-Fan et al. (2013), foram ativadas por Augustin-Louis Cauchy, principalmente para dar o caráter formal para a derivada, como o sendo

Finalmente, na base do triângulo se define as configurações primárias que possuem caráter extensivo e são ativadas na resolução de situações-problema que envolvem Tangentes, Máximos e Mínimos e Taxa de Variação e Velocidades: Traçados de Tangentes na Matemática grega (CE1); Problemas sobre Taxas de Variação na Idade Média (CE2); Cálculo de subtangentes e tangentes utilizando álgebra (CE3); Traçados de tangentes mediante considerações cinemáticas (CE4); e Cálculo de tangentes e subtangentes mediante método infinitesimais (CE6).

As configurações CE1, CE3 e CE6 são ativadas para resolver problemas de Tangentes, já as CE2 e CE4 são impulsionadas para resolver situações-problema que envolvem a Taxa de Variação e Velocidades e, por fim, a CE5 é despertada para resolver questões de Máximos e Mínimos.

A seguir apresentamos, na Figura 2, um exemplo da configuração epistêmica: derivada como um limite (CE9), no livro didático.

Para Pino-Fan et al. (2013), a representação dos campos de problemas propostos são as escolhas dos textos, exercícios propostos e resolvidos, situações-problema ou questões que sejam representativas em cada entrada do Quadro 1 para assim obtermos o significado global da derivada.

Segundo esses autores, os campos de problemas (CP) são resumidos assim: Cálculo de tangentes (CP1); Cálculo das Taxas de Variação (CP2); Cálculo das Taxas de Variação Instantânea (por meio do limite) (CP3); Aplicação da Derivada para calcular máximos e mínimos (CP4); e Cálculo da Derivada a partir de regras e teoremas de derivação (CP5).

A representatividade dos elementos reguladores e argumentativa são as entradas do Quadro 1, em que deve existir uma relação representativa entre as linhas (as configurações epistêmicas (CE)) e as colunas (campos de problemas (CP)) para obtermos o significado global da derivada de acordo com o seu sentido holístico.

De acordo com Pino-Fan et al. (2013). a análise conjunta dos elementos e seus relacionamentos confirmam, principalmente, o significado holístico da derivada.

Finalizamos esta seção destacando que tal sentido está intimamente relacionado com questões que envolvem Tangentes, Máximos e Mínimos e Taxa de Variação e Velocidades. E ainda: estas ideias iniciais contribuíram para o seu desenvolvimento.

3 Análise do livro Um curso de Cálculo, v. 1

A obra Um curso de Cálculo, volume 1, foi publicado pela primeira vez em 2001 e reimpresso em 2008.

Esse livro possui 17 capítulos e seis apêndices, além de um tópico que contém respostas e/ou soluções dos exercícios e problemas. Entre esses capítulos, está o sete, intitulado Derivadas, que é o objeto de nosso estudo.

Nesse capítulo, realizamos a análise das duas primeiras seções: 7.1 – Introdução e 7.2 – Derivada de uma função. Esses assuntos são tratados da página 136 até a página 144, da 5ª edição, reimpressa em 2008.

Acerca de seu livro, Guidorizzi (2008) assim escreve:

O curso é desenvolvido de forma que os conceitos e teoremas apresentados venham, sempre que possível, acompanhados de uma motivação ou interpretação geométrica ou física. As demonstrações de alguns teoremas ou foram deixadas para o final da seção ou colocadas em apêndices, o que significa que o leitor poderá, numa primeira leitura, omiti-las, se assim o desejar. (p. vii)

Sobre os exemplos (exercícios resolvidos) e propostos, o autor considera que

quanto aos exemplos e exercícios, pensamos tê-los colocado em número suficiente para a compreensão da matéria. Procuramos dispor os exercícios em ordem crescente de dificuldades. Existem exercícios que apresentam certas sutilezas e que requerem, para suas resoluções um maior domínio do assunto (GUIDORIZZI, 2008, p. vii)

O Quadro 2, a seguir, representa o sentido holístico da derivada no livro didático do Ensino Superior analisado.

A análise do Quadro 2 mostra que o livro reforça o significado parcial da derivada como limite (Figura 2) em cinco campos de problemas: CP1, CP2, CP3, CP4 e CP5. De acordo com Pino-Fan et al. (2013), as configurações primárias deram lugar à configuração CE9, ou seja, o livro baseia-se na utilização de limite.

A seguir apresentamos, na Figura 4, um exemplo da configuração epistêmica (CE9) ativada no livro didático analisado.

Agora, um exemplo, ilustrado na Figura 5, do cruzamento de dados do Quadro 2: 10ª – linha: configuração epistêmica CE9 e 6ª coluna – campo de problema CP5.

Outro exemplo, ilustrado na Figura 6, do cruzamento de dados do Quadro 2: 10ª linha – da configuração epistêmica CE9 e 2ª coluna – campo de problemas CP1.

Pino-Fan et al. (2013) ressaltam que por meio do Quadro 2 podemos identificar os significados parciais da derivada com os campos de problemas (CP). Sendo assim, o livro didático analisado por nós, em suas seções 7.1 (Introdução) e 7.2 (Derivada de uma função), confirma a ideia da derivada como um limite, e, portanto, todas as interações da Figura 2, são esquecidas.

4 Considerações

Iniciamos nossa pesquisa do modo como a derivada é abordada no livro didático dos cursos de Ensino Superior. A obra Um curso de Cálculo, volume 1 (GUIDORIZZI, 2008), desenvolve as ideias iniciais da derivada por meio da concepção de limite, ou seja, utiliza a configuração epistêmica (CE9) para resolver os campos de problemas CP1, CP2, CP3, CP4 e CP5. Dessa forma todas as outras interações entre as configurações epistêmicas existentes, e ilustradas na Figura 2, que são as noções iniciais da derivada, não são trabalhadas.

No entender de Machado (2016, p. 16-17),

em cada conteúdo, existem ideias fundamentais a serem exploradas; elas é que constituem a razão do estudo [...]. É possível estudar muitos conteúdos sem uma atenção adequada às ideias fundamentais envolvidas, como também o é uma explicitação e uma valorização de tais ideias, mesmo tendo por base a exploração de alguns poucos conteúdos.

Reconhecemos a dificuldade em desenvolver a teoria, o texto de outras atividades e o os exercícios resolvidos e propostos, de modo a utilizarem todas as relações possíveis exibidas no Quadro 2. Porém, o destaque em algumas células em detrimento de outras podem afetar o significado da derivada. Desse modo destacamos que reconhecer tal ênfase é importante na medida em que:

1. ▪ a escola e os autores de livros didáticos podem propor um tratamento mais completa de significados e formas de representação;

   ▪ o professor pode tornar-se consciente da distribuição não homogênea de significados e projetar atividades que destacam as abordagens faltantes;

   ▪ os estudantes têm acesso à uma gama mais ampla de significados, modos de representação e de ligações entre elas que podem ajudar a definir uma aprendizagem significativa da Derivada.

Ressaltamos que o sentido holístico da derivada, proposto por Pino-Fan et al. (2013), nos permitiu analisar o significado global da derivada no livro didático e concluir que a configuração epistêmica (CE9) que dá o caráter formal à derivada está presente neste livros didático do Ensino Superior, presente nas aulas de disciplina matemática de diversos cursos da área de exatas, ou seja, a derivada, inicialmente, é abordada, como o sendo o limite

Deste modo, esperamos que nosso trabalho, que está inserido em reflexões da Educação Matemática, venha contribuir para considerações voltadas à abordagem da derivada por meio da Taxa de Variação e, assim, estimular a aprendizagem do aluno dentro das muitas ideias fundamentais deste conteúdo.

Referências

DALL’ANESE, Claudio. Conceito de derivada: uma proposta para seu ensino e aprendizagem. 2000. 140f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologias. Pontifícia Universidade Católica. São Paulo.

PINO-FAN, Luis R.; CASTRO, Walter F.; GODINO, Juan Diaz; FONT, Vicenç. Idoneidad epistémica del significado de la derivada en el curriculo de bachillerato. Paradigma, Maracay, v. 34, n. 2, p. 123-150, dez. 2013.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. v. 1, 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

MACHADO, Nílson José. Formação continuada de professores: uma releitura das áreas de conteúdo. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.

STIGAR, Robson. O pensamento holístico. In: WebArtigos.com, publicado em 2 de maio de 2008.

VILLAREAL, Mônica Ester. O pensamento matemático de estudantes universitários de Cálculo e tecnologias informáticas. 1999. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Extas. Universidade Estadual Paulista. Rio Claro.

Enlace alternativo

https://www.periodicos.unimontes.br/index.php/emd/article/view/72/77 (pdf)

IR